MATEMÁTICOS Y GENIOS

"Matemáticos y Genios"

Breves Biografias

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*Abel El matemático Niels Henrik Abel (1802-1829) era noruego. Estaba orgulloso de ello (firmaba todos sus escritos como N. H. Abel, noruego), pero también era para él una carga. A principios del siglo XIX Cristianía (actualmente Oslo) estaba muy apartada de los ambientes matemáticos y científicos europeos que se concentraban en París y Berlín. Hijo de un pastor protestante, destacó desde niño en las matemáticas. Siendo aún muy joven empezó a estudiar la solución de la ecuación de quinto grado. Pronto cambió de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de resolver esas ecuaciones con métodos algebraicos. Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis. Tenía sólo veintiseis años.

*Ajedrez Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".

 

La resolución de la ecuación de segundo grado aparece en los trabajos de Al-Jwarizmi utilizando un método geométrico cuyo fundamento es la formación de cuadrados. En esencia coincide con el actual método general. La ecuación resuelta gráficamente por Al-Jwarizmi fue x² + 10x = 39. El proceso es complicado, pero el esfuerzo compensa, ya que se consigue una fórmula que da x en función de los coeficientes a, b y c, y que es la que se utiliza en la práctica.

*Anaximandro Natural de Mileto, compañero o discípulo de Thales (v.), matemático, astrónomo, geógrafo y político, iniciador de la astronomía griega, es el que establece una verdadera cosmología desprovista de elementos míticos. No se pregunta qué son las cosas, sino de dónde proceden. Al igual que Thales, señala el orígen de los seres en el fango o cieno primitivo, de donde salen por la acción de los rayos solares.

*Arquimedes de Siracusa Arquímedes puede ser considerado como el más grande de los matemáticos de la antigüedad. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa, fundamentalmente, en sus numerosos descubrimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado de Pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera. Demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Considerado este teorema con la perspectiva que nos da la Historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoídes y esferoides, De las espirales y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhausción, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra, y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento.

Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad.

Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, durante el asedio de la tropas romanas a Siracusa (213-212 aC) fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos del sol llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos enemigos. Muy pronto los romanos vieron, atónitos, cómo las velas de sus barcos ardían como por arte de magia. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores.

Se sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos (v. Parábola). Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.

Aunque no de una manera explícita, Arquímedes sí ha contribuido a la aplicación de las matemáticas. En efecto, en el Equilíbrio, trataba el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado, el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si la conociese y le fuese familiar. Casi veinte siglos más tarde, S. Stevin y Galileo Galilei construyen la teoría de la estática; esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos.

*Barrow Isaac Barrow (1630-1677), matemático inglés y profesor de geometría en Cambridge, fue el primero en acceder a la cátedra creada por Henry Lucas (1610-1663) y que ocuparía después de él Newton. Su aportación a las matemáticas fue fundamental, ya que supo unir el cálculo diferencial e integral con el teorema que lleva su nombre.

*Bhaskara El último matemático medieval más importante de la India llamado Brahmim Bhaskara (1114-1185) en su tratado más conocido, llamado Lilavati, decía: «El cuadrado de un número positivo, como el de un número negativo, es positivo. En consecuencia, la raíz cuadrada de un número positivo es doble, positiva y negativa. No hay raíz cuadrada de un número negativo porque un número negativo no es un cuadrado».

*Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) n. en San Petersburgo. Trabajando a sugerencia de Heinrich Eduard Heine sobre un problema surgido de trabajos de Fourier, hizo notables descubrimientos acerca de la estructura de la recta real y de los números transfinitos, ideas que, según estaba convencido, le habían sido comunicadas directamente por Dios. Su aritmética transfinita encontró mucho rechazo: Henri Poincaré dijo que la teoría era "una enfermedad" de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse; Hermann Weyl se refirió a la jerarquía de alephs establecida por Cantor como "niebla en la niebla"; Leopold Kronecker, uno de los maestros de Cantor, le calificó de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud". El propio Cantor se resistió al principio a aceptar la existencia de tales números. La idea de infinito completo se venía rechazando desde Aristóteles, a causa de las paradojas que planteaba. Galileo ya se había dado cuenta de que hay tantos enteros como pares. Santo Tomás de Aquino consideraba que tal noción comportaba un desafío directo a la naturaleza única, infinita y absoluta de Dios. En vista de ello los matemáticos rehuían hablar del infinito como cantidad, prefiriendo hablar de él como idea en potencia, es decir, como límite. El propio Gauss (v.) escribió "...yo protesto sobre todo del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido. El infinito es sólo una forma de hablar, en la que propiamente debería hablarse de límites." Cantor estableció una ingeniosa correspondencia entre los racionales y los enteros, demostró en 1874 la imposibilidad de hacer corresponder los reales con los enteros (mediante el famoso procedimiento diagonal que lleva su nombre). En 1874 comenzó a trabajar con Dedekind. En 1877 encontró una biyección entre los puntos de la recta y del plano; exclamó "¡Lo veo, pero no lo creo!". Lo envió para su publicación, pero Kronecker, editor de la revista, bloqueó la publicación. Cantor, ofendido, nunca más publicó en aquella revista. En 1883 presentó los números transfinitos, aunque tardaría diez años en decidirse cambiar su notación por la actual con la letra hebrea aleph (), al pensar que había que emplear un nuevo alfabeto para un nuevo concepto. En 1891 demostró que 2^a>a para cualquier número transfinito a, y que el cardinal del continuo es . Siempre confió en poder resolver la hipótesis del contínuo , la cual resistió todo intento de demostración hasta que en 1963, Paul J. Cohen, de Standford, basándose en resultados de Kurt Gödel, demostró que tal hipótesis es independiente de la axiomática de la teoría de conjuntos, y tanto su afirmación como su negación son coherentes con ella. Cantor comenzó a sufrir crisis maníaco-depresivas cada vez más fuertes hasta finalmente morir, posiblemente sin saber que, gracias a sus trabajos, Bertrand Russell (v.) había formulado en 1903 su angustiosa paradoja acerca la teoría de conjuntos. Algún tiempo después, David Hilbert (v.) dijo: "del Paraíso que nos ha creado Cantor nadie nos echará"; el propio Russell rectificó su inicial desaprobación diciendo que el descubrimiento de Cantor es "probablemente el más importante que la época puede ostentar".

*Cardano El valiente que por primera vez puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un número negativo (v. números complejos), en apariencia sin sentido, fue el matemático italiano Jerónimo Cardano (1501-1576). Quería descomponer el número 10 en dos partes cuyo producto fuera igual a 40. Demostró que el problema no tiene solución racional, pero obtuvo las soluciones y . Cardano escribió estas soluciones con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e imaginaria, pero sin embargo las escribió.

*Cauchy Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francés. Su padre, aconsejado por Lagrange, le envió a estudiar humanidades. Cauchy obedeció, sacó varios premios y, decidido a estudiar matemátias, entró en la Escuela Politécnica de París al aprobar en 1805 los exámenes de 293 candidatos con el nº 2, y terminó en 1807 con el nº 3. Sus convicciones políticas le trajeron muchos problemas, hasta que en 1848 la revolución francesa le permitió ocupar un cargo en la Sorbona. Matemático meticuloso, construyó una obra inmensa, publicando con regularidad en 45 años de vida científica sobre aritmética, física matemática, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. La edición de sus obras completas se ha demorado casi un siglo; consta de 27 volúmenes y contiene 800 artículos, memorias y 5 obras dedicadas a la enseñanza.

*Darboux Gaston Darboux (1842-1917), matemático francés. Demostró por primera vez en 1875 el teorema de convergencia de las sumas de Riemann a partir del teorema de Heine sobre la continuidad uniforme.

*Descartes René Descartes (1596-1650), considerado padre de la filosofía moderna, trabajó además en fisiología, psicología, óptica y astronomía. Creó la geometría analítica (1619). En el colegio tenía gran habilidad para las discusiones: primero acordaba con sus oponentes las definiciones y el significado de los objetos de discusión, y después construía una argumentación con ellos difícil de rebatir.. Consiguió permiso para levantarse tarde, y así dedicarse a pensar en solitario. Fue gran amigo de Mersenne (v.). En 1632 resolvió el problema de la caida de los cuerpos sin saber que Galileo ya lo había hecho.

*Einstein Él mismo escribió: «Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de que la Naturaleza es concreción de las ideas matemáticas más sencillas.» Cuando tuvo que elegir las ecuaciones tensoriales capaces de dar cuenta de su teoría de la gravitación, entre todos los sistemas capaces de cumplir los requisitos necesarios optó por el más sencillo, y a continuación los publicó, con plena confianza (como en cierta ocasión le dijo al matemático John G. Kemeny) de que «Dios no hubiera dejado escapar una oportunidad así de hacer tan sencilla la Naturaleza». Se ha opinado que los enormes logros de Einstein han sido expresión intelectual de una compulsión psicológica de sencillez, que Henry David Thoreau expuso en Walden como sigue: «¡Sencillez, sencillez, sencillez! Hágame caso, que sus asuntos sean como dos o tres, no como cientos o millares. No haga por contar un millón, sino media docena, y lleve su contabilidad en una uña.» En su biografía de Einstein, Peter Michelmore refiere que «el dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él cuadros ni alfombras... Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar. En casa solía ir descalzo. Tan sólo cada dos o tres meses dejaba que Elsa (su esposa) le descargara un poco la pelambrera... Pocas veces encontraba necesaria la ropa interior. También dejó de lado los pijamas. y más tarde los calcetines. "¿Para qué sirven?", solía preguntar. "No producen más que agujeros." Elsa llegó a perder la paciencia un día en que lo pilló cortando de codo abajo las mangas de una camisa nueva. Su explicación fue que los puños requieren botones o gemelos y es necesario lavarlos con frecuencia, total, una pérdida de tiempo». «Toda posesión», decía Einstein, «es una piedra atada al tobillo.» Las ecuaciones de Newton tuvieron que ser, a su vez, modificadas por Einstein; y en nuestros días hay físicos—Robert Dicke entre ellos—que consideran insuficientes las ecuaciones de gravitación einstenianas y creen que habrán de ser modificadas y transformadas en otras más complejas.

*Erastótenes de Cirene (275-194 a.C.) Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C. calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo. La distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m). Entonces Eratóstenes pensó que dicha distancia sería igual a 1/50 de toda la circunferencia de la Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:

50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m = 40.000 km

 

De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000 / 2Pi = 6.366,19 km.

 

Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el valor de 6.378 km. Como se puede observar se trata de una extraordinaria exactitud, si se tienen en cuenta los escasos medios de que se disponía.

 

Hoy día, gracias a las mediciones efectudas por los satélites conocemos la Tierra palmo a palmo y podemos saber con precisión casi milimétrica cuál es su tamaño. Pero hace veintitrés siglos no era tan fácil.

 

Medir el radio de la Tierra no fue el único mérito de Eratóstenes. Como otros sabios de su época, no se conformó con una rama del saber: Fue astrónomo, geógrafo, historiador, literato... y matemático: a él se debe la "criba de Eratóstenes", un sistema para determinar números primos.

 

Todos esos conocimientos y su gran reputación hicieron que el Rey de Egipto le eligiera para dirigir la Biblioteca de Alejandría, en la que se guardaba todo el saber de su época.

 

A los ochenta años, ciego y cansado, se dejó morir por inanición.

*Euclides Son muy escasas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió en el período 306-285 aC, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos, que equivale a lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días. Los Elementos rivalizan, por su difusión, con los libros más famosos de la literatura universal: la Biblia, La divina comedia, el Fausto y el Quijote, privilegio tanto más excepcional en cuanto que se trata de una producción científica, no asequible, por tanto, a las grandes masas de lectores. Después de la Biblia y las obras de Lenin, los Elementos ha sido el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas. El rey egipcio Ptolomeo I (306-283 a.C.) empezó a leerlo, pero se cansó enseguida porque le costaba mucho trabajo seguir los largos y minuciosos razonamientos. Mandó llamar a Euclides y le preguntó si existía alguna vía más corta y menos trabajosa. Euclides respondió que no, que «en matemáticas no hay caminos reales». Los Elementos fueron traducidos al latín por Adelardo de Bath y Gerardo de Cremona.

La actitud actual en las matemáticas se parece al espíritu clásico de Euclides en el sentido de que creemos que basta con la inteligencia para toda creación científica cuyo desarrollo se verifica según un proceso puramente racional. Si cambiamos o suprimimos coherentemente algunos postulados podremos seguir obteniendo geometrías coherentes. Éste no es un problema fácil, ya que es complicado decidir sobre la necesidad o no de un postulado o sobre su dependencia de otro u otros. A lo largo de la historia se ha visto como muchos matemáticos han intentado, en vano, probar que el famoso quinto postulado de Euclides era una consecuencia de los restantes. No fue hasta mediados del siglo pasado cuando se vio la independencia de todos los postulados y la posibilidad de la construcción de nuevas geometrías. Habían nacido así las geometrías no euclídeas (elíptica e hiperbólica) con la misma consistencia que la euclídea, pero independientes de ésta.

Los Elementos constan de trece libros, a los que casi todos los editores agregan otros dos, cuya autenticidad es dudosa. De lo que no cabe duda alguna es de que la historia de los Elementos es la historia de la geometría, desde su redacción hasta el Renacimiento.

Pero Euclides no sólo se dedicó a la geometría. Se habían definido los números primos y Euclides demostró que había infinitos, aunque debido a la inexistencia de un sistema de numeración adecuado le habría resultado dificil dar ejemplos de números primos relativamente grandes, por ejemplo, superiores a un millón. Notemos que para los griegos los números superiores a diez mil eran ya prácticamente inmanejables, debido a los métodos de cálculo rudimentarios y enojosos que utilizaban.

*Euler Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i (inicial de imaginario). Ese mismo año nacía Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que dio una interpretación geométrica a los números complejos ¿Casualidad?. (v. Recta de Euler). Demostró el teorema de Fermat (v.) para n=3, pero cometió un grave error.

*Fermat Pierre de Fermat (1601-1665), francés, fundador de la teoría de los números. No era matemático sino jurista, y sus trabajos matemáticos no se publicaron hasta después de su muerte. Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Una de ellas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados en la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener." Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Se sospecha que estaba equivocado y carecía de tal demostración. Cien años más tarde Euler(v.) publicó una demostración ¡errónea! Para n=3. En 1825, Dirichlet y Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo <100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970 para n hasta 30.000 y poco después hasta 125.000. En 1854 la Academia de Ciencias de París había hecho la promesa de otorgar una medalla y 300.000 francos de oro a quien lograra demostrar el teorema. Kummer recibió la medalla en 1858. La historia tiene su final con Willes (v.), quien ha logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente establecido.

*Fibonacci Leonardo de Pisa (1170-1241), más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de Bonaccio», coetáneo de Ricardo Corazón de León, fue sin duda el más grande entre los matemáticos europeos de la Edad Media. Se aficionó a las matemáticas siendo un chiquillo, tras un curso de aritmética posicional hindú que su padre, Bonaccio, director de la oficina de aduanas en una factoría mercamtil italiana asentada en Bougie, Argelia, le hizo seguir. La más conocida de sus obras, Liber abaci (1202) (literalmente, Libro del ábaco) era en realidad un amplio tratado del sistema de numeración indoarábigo, en el que presenta los signos hindúes y el 0 (quod arabice zephirum appellatur), y el método de regula falsi para ecuaciones de primer grado, mas sus razonamientos no parecieron causar demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Con el tiempo, su libro llegó a ser, empero, la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga. En De quadratis numeris (~1225), que se perdió, y apareció en 1853 en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, cuando muchos pensaban que sus resultados estaban copiados de Diofanto, supera a éste y a los árabes y sólo es superado por Fermat (v.) en el siglo XVII.

No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas, interesado por la teoría de números (y recopilador de una clásica obra de matemáticas recreativas, en cuatro volúmenes), quien encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber abaci. La sucesión de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,11,... cada término es la suma de los dos anteriores F_n=F_n-1+F_n-2) ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, en parte a causa de su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los amateurs en teoría de números, aunque sus conocimientos no vayan mucho más allá de la aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber variedad inagotable. El interés por estas sucesiones ha sido avivado por desarrollos recientes en programación de ordenadores, ya que al parecer tiene aplicación en clasificación de datos, recuperación de informaciones, generación de números aleatorios, e incluso en métodos rápidos de cálculo aproximado de valores máximos o mínimos de funciones complicadas, en casos donde no se conoce la derivada. Seguramente la propiedad más notable de la sucesión de Fibonacci sea que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y debajo de la razón áurea, y que conforme se va avanzando en la sucesión, la diferencia con ésta va haciéndose cada vez menor; las razones de términos consecutivos tienen por límite, en el infinito, la razón áurea. La razón áurea es un famoso número irracional, de valor aproximado 1,61803..., que resulta de hallar la semisuma de 1 y la raíz cuadrada de 5. Hay abundante literatura (no siempre seria) dedicada a la aparición de la razón áurea y de la sucesión de Fibonacci tan relacionada con ella, en el crecimiento de los organismos y a sus aplicaciones a las artes plásticas, a la arquitectura e incluso a la poesía. George Eckel Duckworth, profesor de clásicas en la Universidad de Princeton, sostiene en su libro Structural Patterns and Proportions in Vergil's Aeneid (University of Michigan Press, 1962) que lo mismo Virgilio que otros poetas latinos de su época se sirvieron deliberadamente de la sucesión de Fibonacci en sus composiciones.

En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci hace su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una de sentido horario, otra en sentido antihorario. Los números de espirales son distintos en cada familia, y por lo común, números de Fibonacci consecutivos. La lista de propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Otro tanto puede decirse de sus aplicaciones en Física y Matemáticas. Leo Moser ha estudiado las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos láminas de vidrio planas y en contacto. Los rayos que no experimentan reflexión alguna atraviesan ambas láminas de sólo una forma; para los rayos que sufren una reflexión hay dos rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones, las trayectorias son de tres tipos, y cuando sufren tres, de cinco. Al ir creciendo el número n de reflexiones, el número de trayectorias posibles va ajustándose a la sucesión de Fibonacci: para n reflexiones, el número de trayectorias es F_n+2. La sucesión puede utilizarse de forma parecida para contar el número de distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas exagonales del panal; supondremos que la abeja se dirige siempre a una celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay sólo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco itinerarios que conduzcan a la cuarta, y así sucesivamente. Al igual que antes, el número de trayectos es F_n+1, donde n es el número de casillas del problema. Y ya que viene a cuento, las abejas machos, o zánganos, no tienen padre. C. A. B. Smith ha hecho notar que cada zángano tiene madre, 2 abuelos (los padres de la madre), 3 bisabuelos (y no cuatro, pues el padre de la madre no tuvo padre), 5 tatarabuelos, y así sucesivamente, en sucesión de Fibonacci. David Klarner ha mostrado que los números de Fibonacci expresan de cuántas maneras podemos construir con dominós (rectángulos de tamaño 1 x 2) rectángulos de dimensión 2 x k. Hay sólo una manera de formar el rectángulo 2 x 1; 2 maneras de construir el cuadrado de 2 x 2; 3 para el rectángulo de 2 x 3; 5 para el de 2 x 4, y así sucesivamente.

El más notable de los problemas abiertos concernientes a sucesiones de Fibonacci es el de si contienen o no colecciones infinitas de números primos. En una sucesión de Fibonacci generalizada, si los primeros números son divisibles ambos por un mismo número primo, todos los términos posteriores lo serán también, y es evidente que tales sucesiones no podrán contener más de un número primo. Supongamos, pues, que los dos primeros números sean primos entre sí (esto es, que su único común divisor sea 1). ¿Podrán existir sucesiones generalizadas que no contengan absolutamente ningún número primo? El primero en resolver esta cuestión fue R. L. Graham en «A Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers», en Mathematics Magazine, vol, 57, noviembre de 1964 pp. 322-24. Existe una infinidad de sucesiones así, pero la mínima (en el sentido de serlo sus dos primeros números) es la que empieza por 1786772701928802632268715130455793 y 1059683225053915111058165141686995.

*Galileo Galileo Galilei dijo en El Saggiatore: "El libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático, cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales sería imposible entender una sola palabra, y se andaría siempre como en un laberinto oscuro."

*Galois Évariste Galois (1811-1832) era un niño raro. O, al menos, eso decían sus profesores. Inteligente, original y con gran facilidad para las matemáticas, pero raro. Además de un gran matemático, fue el prototipo del hombre apasionado y vital del Romanticismo. A los doce año ya discutía sobre política y sobre arte. Se enfrentaba a sus profesores y se entusiasmaba con los escritores románticos. Su mayor deseo era estudiar matemáticas, así que se preparó para ingresar en una Escuela Politécnica. En pleno examen de ingreso se enfrentó a los miembros del tribunal, cuyas preguntas consideraba un poco tontas. Fue suspendido. A los 17 años publicó un artículo sobre fracciones continuas, creando la teoría de grupos, una rama de las matemáticas que incide en aritmética, cristalografía, física de partículas y el cubo de Rubik. Simultáneamente suspendía, por segunda vez, el examen de matemáticas para entrar en la École Polytechnique. Galois siguió sus investigaciones por su cuenta.

*Galton Sir Francis Galton (1822-1917) nació en Birmingham. Sus trabajos más importantes conectaron con sus dos grandes aficiones: el estudio de la herencia y la expresión matemática de los fenómenos vinculados a ella. Galton nació el mismo año que George Mendel, con quien tenía gran afinidad, y además era primo, por parte de su madre, del célebre Charles Darwin. Fue el primero en asignar un numero a un conjunto de variables, y de esta forma obtener una medida del grado de relación existente entre ellas. Sostenía la idea de que personas excepcionalmente altas solían tener hijos de estatura menor a la de sus progenitores, mientras que personas muy bajas solían tener hijos más altos que sus padres; este hecho lo enunció Galton como la regresión a la mediocridad, aplicables a las tallas de una generación respecto de las siguientes. Este principio se considera la primera falacia sobre la teoría de la regresión (v.). La justificación que se da hoy día a este hecho es que los valores extremos de una distribución se deben en gran parte al azar. Galton construyó un ingenioso dispositivo que lleva su nombre (aparato de Galton): sobre un tablero inclinado están distribuidos regularmente un sistema de clavos que permiten deslizar un gran número de bolas que proceden de un depósito superior. Las bolas, al chocar con los clavos, se alejan en mayor o menor medida de la línea central de caída, según la ley de azar. Recogiendo estas bolas en compartimentos estrechos, distribuidos a lo largo del borde inferior del tablero, las alturas que alcanzan las bolas en las distintas columnas varían según una ley binomial. Hace pocos años, el Science Materials Center construyó, bajo el nombre de Hextat, un aparato análogo, al que se ha llamado demostrador mecánico de probabilidad.

Los babilonios conocían la solución de la ec. de 2º grado. Los italianos Scipione dal Ferro y Niccolò Fontana (Tartaglia) resolvieron la cúbica a principios del s. XVI. Casi en la misma época el italiano Lodovico Ferrari resuelve la de grado cuarto. En casi 300 años no se había avanzado ni un milímetro. En 1829 Galois presentó sus trabajos a la Academia de Ciencias francesa, pero Cauchy, encargado de informar sobre ellos, no lo hizo (según la leyenda, los perdió). Poco después presentó una monografía para optar a un premio, que fue asignado a Fourier, pero éste murió y la monografía nunca se encontró. En 1831 volvió a la carga, y su memoria fue encomendada a Poisson, quien recomendó a la Academia que lo rechazase. Galois empieza a asistir a las sesiones para insultar a los oradores. Su padre se había suicidado y su madre le abandonó; estuvo en la cárcel por su activa participación en la revolucion de 1830. El mismo día en que sale de prisión (tiene entonces veintiún años) sus enemigos le retan en duelo (según dicen por causa de una "infame coqueta de baja estofa"). El acepta. Pasa toda la noche recopilando sus teorías. Angustiado porque ve que llega el amanecer, va anotando al margen: "No tengo tiempo, no tengo tiempo...", terminando "...confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo". A la mañana siguiente, el 30 de mayo de 1832, se bate en duelo y cae herido de muerte.

*Gauss Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la Astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados (llegó a decir "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios", pero, continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos. Jacobi dijo: "sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas". Abel (v.) observó "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena").

 

Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros, sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló. El libro contenía una demostración del teorema del binomio poco rigurosa; a Gauss no le gusto, y construyó otra mejor. A los 19 años había demostrado importantes teoremas de teoría de números, que con anterioridad Euler (v.) y Legendre habían intentado demostrar sin éxito. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para los polígonos regulares de 3, 4, 5, y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección, pero ninguno más. En 2.000 años nadie había avanzado nada en este problema. En marzo de 1796, con 18 años, encontró una construcción para el polígono de 17 lados y caracterizó exactamente los polígonos que pueden construirse con regla y compás: su número de lados ha de estar compuesto de potencias de 2 y de primos de Fermat (v.) con n primo. Esto fue lo que lo decidió a hacer la carrera de matemáticas.

 

Según cuenta él mismo, a los 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía tiempo para escribirlas. En julio de 1796 demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares y lo anotó en su diario como "¡Eureka! Num =++". El primero en demostrar que un polinomio tiene como máximo tantas raíces distintas como indica su grado fue Gauss. Lo curioso es que esa demostración la hizo con sólo veintiún años, en su tesis doctoral. En 1801, con 24 años, publicó sus Disquisitiones Arithmeticae, donde, entre otras, inventó la aritmética modular porque la necesitaba para profundos teoremas. Fue el primero en usar ampliamente los números complejos (v.) y en expresarlos en su forma binómica junto con sus leyes. En su tesis doctoral (1799), demostró el Teorema Fundamental del Álgebra (v.) por ser uno de los más importantes pilares sobre el que se sustenta todo el álgebra. Fue el primero en emplear geometrías no euclídeas (v.) y en darles tal denominación. Descubrió el teorema de Cauchy, fundamento del análisis de variable compleja. Descubrió la distribución normal (de Gauss), el método de mínimos cuadrados. Su enorme fama aumentó aún más depués de su muerte, al descubrirse, inéditos, una gran cantidad de importantes resultados que él no había querido publicar.

Pronto muchos más Matemáticos....